只知道現在，能不能算出未來？

1｜把時間暫停

假設手機拍下一顆正在飛行的球。我們把畫面暫停，並且已從前後影格知道它此刻的位置 $x$ 與速度 $v$。

這些資料，夠不夠算出 0.01 秒後的位置？

先不用找課本公式。想像你只要往未來走一小步：如果這一瞬間球正以速度 $v$ 前進，那麼很短的時間 $\Delta t$ 之後，位置應該差不多是

可是，球的速度也可能正在改變。

2｜只往前走一小步

如果此刻的加速度是 $a$，下一瞬間的速度便可以近似寫成

我們先用一維符號把想法說清楚；在平面或空間中，位置、速度與加速度都可以改用向量表示。

位置靠速度往前走，速度靠加速度往前走。問題好像縮小了，卻還留著最關鍵的一塊：

加速度從哪裡來？

3｜牛頓的回答

對質量固定的物體，牛頓定律告訴我們：

這裡的 $F$ 是物體所受的合力。只要知道力的規則，就能把「現在的狀態」推進到「下一瞬間的狀態」，再往前一步、再一步。

物理定律不是先把軌跡告訴我們，而是告訴我們「狀態如何演化」。

4｜一顆蘋果，和一顆行星

蘋果落向地面，行星繞著恆星運動。它們的路徑很不一樣，但在簡化的模型裡，都可以從萬有引力出發：

其中 $G$ 是萬有引力常數，$M$ 是中央天體的質量，$m$ 是運動物體的質量；$\mathbf r$ 是從中央天體指向物體的位置向量，$r=|\mathbf r|$。負號表示力朝向中央天體。我們先假設中央天體固定，忽略其他天體及阻力。

電腦可以反覆做這幾件事：

1. 由位置求出力。
2. 由力求出加速度。
3. 更新速度。
4. 更新位置，再重新計算力。

在時間步足夠小、數值方法適當時，軌道結構會由運動定律自然出現；究竟是繞行還是飛離，也和最初的位置、速度有關。

我們沒有事先把橢圓畫好交給電腦。當然，也不是任意一種簡單方法、隨便選一個時間步，就能精確畫出橢圓：數值誤差可能讓軌道偏移，甚至逐漸向外或向內漂移。

5｜為什麼微積分會出現？

當我們把 $\Delta t$ 想得愈來愈小，直到討論 $\Delta t\to0$ 的極限，剛才的近似便通向描述瞬時變化的方程：

也就是

微積分不是為了把物理變難，而是「下一瞬間會發生什麼？」這個問題本身需要描述瞬時變化的數學。

現在要找的，是一整個隨時間改變的函數 $x(t)$：它在每一瞬間，都要符合力所決定的變化規則。這就是微分方程第一次出現的地方。

6｜讓電腦試一次

以下是概念性的 Python 寫法。先給定初始位置、速度、質量、時間步及步數，再依想研究的現象定義 force()：

for step in range(N):
    a = force(x, v) / m
    v = v + a * dt
    x = x + v * dt

這段程式先更新速度，再用更新後的速度移動位置，是半隱式歐拉法的一種寫法；和前面用當下速度估算位置的版本略有不同。兩者都在做一件事：把連續的運動，拆成可以計算的小步。

這是用來理解概念的簡化數值方法，不是高精度天體計算程式。程式片段中的變數與力函式需要先定義；若力隨時間改變，還需要把時間傳入函式。

保留這個更新流程，換掉 force()，並給定合適的初始條件，就可以探索自由落體、拋體、彈簧、重力軌道與阻力。遇到碰撞、接觸地面等情況，還需要額外的處理規則。

7｜牛頓的描述，在哪裡需要改寫？

如果速度接近光速呢？

剛才的推算默認所有觀察者共用同一時間，也使用牛頓式的速度與運動描述。若真空中的光速對所有慣性觀察者都相同，這套描述就必須修正。

先把這個問題留下來：為什麼連「同一瞬間」都可能需要重新理解？沿著它追問，就會走到狹義相對論的入口。

8｜把三個問題帶走

1. 如果 $\Delta t$ 取得太大，模擬的行星軌道可能發生什麼？
2. 若 $F=-kx$，不先背 $x=A\cos(\omega t)$，電腦能否自己產生振盪？
3. 如果只有位置、沒有速度，能不能預測未來？一個系統的狀態至少需要包含哪些資訊？

Kakau 不要求你在進班前知道答案。

我們比較在意的是：看到這些問題時，你會不會想繼續往下挖。